माना f(x) = frac{x}{sqrt{a^2 + x^2}} - frac{d | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$.फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकल

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$f$,$x$ का एक वर्धमान फलन है

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(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$.फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।भागफल नियम या श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x$ और $v = \sqrt{a^2 + x^2}$। तब $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $g(x) = \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$। पद के आगे ऋणात्मक चिह्न होने के कारण,इसका अवकलज $\frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.यहाँ $a^2, b^2 > 0$ है और हर हमेशा धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।अतः,$f$,$x$ का एक वर्धमान फलन है।

माना $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$,$x \in R$,जहाँ $a, b$ और $d$ शून्येतर वास्तविक स्थिरांक हैं। तो:

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वह अंतराल जिसमें $y = \ln(\ln(x)), x > 1$ ह्रासमान (decreasing) है,वह है

माना कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $h(x) = f(x) - \{f(x)\}^2 + \{f(x)\}^3$ है,तो

यदि $f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x$ सभी $x \in R$ के लिए मोनोटोनिकली वर्धमान फलन है,तो $k$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें फलन $f(x) = 4x^3 - 6x^2 - 72x + 30$ है:
$(a)$ वर्धमान
$(b)$ ह्रासमान।

निम्नलिखित में से किस अंतराल में $f(x) = 2x^3$,$g(x) = 9x^2 - 12x + 6$ की तुलना में कम तेजी से बढ़ता है?

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